--u — различия между версиями

質心坐標公式 \vecr=\frac\summ_i\vecr_i\summ_i

簡潔、美麗。但是為什麼要這麼定義，該公式下的質心有什麼性質或者説特徵(靜矩相等)，很多人的理解其實有偏頗，更多的有點靠記憶硬背。

如果只想知道，怎麼從開頭矢量公式推導到高等數學裏的定積分形式的公式，直接拉到文末即可。

下面將從質心的物理本質説起，討論物理學家為什麼要如此定義質心，再進行質心公式矢量形式和直角坐標系下的標量積分公式的推導。

1. 選取質心的物理本質

顧名思義，質心，即質量中心，但這種説法語焉不詳，流於字面。(個人覺得這種説法不準確，容易引起誤解，但百度百科和維基百科的第一句都是這種描述)

那麼質量中心是指該點兩側，任意方向上切割得到的兩部分質量相等？又或者是在物體表面選兩個點，連接細繩提起後，經過倆細繩的豎直線交點？又或者在一個理想的絕對時空中不受力自由漂流的物體做任何運動的中心點？

上面的説法提出的點有的恰是質心，有的在某些條件下和質心重合，有的甚至大多數情況根本不存在這種點。

1.1 兩側質量相等的點

我們先來看幾個簡單的不需要思考就能知道質心的例子。

紅點為質心

顯然，圖 (a) 質心為剛體中心。圖 (b) 質心為圓心，圖 (c) 質心為倆質點之間虛擬連線的中點。

從這三個簡單的例子看起來，似乎把一個能使的過自身兩側質量相等的點，叫做質點(一維用點切割，二維用過該點的線切割，三維用過該點的面切割)

但是真的如此嗎？仔細觀察圖 (c) 就能發現，倆質點之間的虛擬線段上任意一點兩側質量都相等，難道線段上所有點都能叫質心，顯然不合適？我們姑且承認這種粗糙的定義，下面再看兩個例子。

1. 在同一直線上滿足等距離 d 排布的三個質點，沿直線正方向質量依次為 2m,2m,3m ，試分析三個質點整體的質心。









2. 對於一個邊長為 a×3a 的矩形，其密度不均勻，左側 a×a 正方形密度為 2ρ ，右側 a×2a 矩形密度為 ρ ，試分析其質心。

讀着可以自行分析一下就能發現，無論是一維還是二維，上述情況是找不到那個能使得兩側質量相等的點，更別説高維度，存在大量例子能否定第一種定義方式。遂直接拋棄。

1.2 過虛擬重力作用線的交點

那麼在物體表面選兩個點連接細繩後，提起細繩使其沿重力自然下垂，經過倆細繩的豎直線交點是否能作為質心呢？

稍作思考也存在明顯問題，平時是站在地面上人和物體相對地面靜止的情況下，能找到這個點的。如果在空間站，或者説坐在一架豎直下墜的波音737中(bushi)，物體是會產生懸浮於人和偽地面的情況的，那這時候無論用手頂還是用繩子繫着等其沿重力下垂，都幾乎找不到原本地面靜止情況下定義的那個點。但是物體質量顯然仍存在，質心也應該存在啊，那説明這種方法定義質心也不對。(這裏的方法其實找到的是重心，略微廣義上就是力心)

1.3 質心的定義

那麼否掉了日常生活中，直覺下質心的備胎選項，什麼是質心呢？質心應該代表物體的什麼特徵呢？物理學家站出來定義，質心是能把某物體或某質點系的質量全部集中於此(進行整體性的運動學/動力學分析)的一個假想點。

看起來稍顯冗長，但非常嚴謹且合理，確保了只與質量有關，並且在任意質量分佈情況下均能存在。

質心的定義翻譯一下就是「等效」。這種定義方式下，可以把質心理解為和宏觀物體或者理想質點系，在動力學分析範疇等效的一個虛擬質點。

在不考慮相對論效應的情況下，從經典力學的運動學出發。進行質心公式推導。

2.質心位置矢量公式的推導

無論是現實實物還是理想質點系，希望質心能和整體等效，自然而然就能得到質心質量等於全體質量之和 M(質點系下為 \summ_i ）。

下面還要將質心運動情況和整體運動情況等效。動力學中概念非常多，但是最基礎的就是質量和速度，是直接將各部分的速度(位移/加速度)求矢量和定義為質心速度？還是動量求和定義為質心動量？

其實從數學上和物理上都有根源。

數學上，普遍情況下，想要整體的等效之和能收斂，一定要滿足分割下來的每個部分上描述的物理量能趨向於無窮小(極限or級數思想)，那麼動力學中選取哪些量進行描述就非常trivial了。其次肯定要是矢量，動力學分析離不開矢量，能量只是物體在某方面的某種體現，所以從數學上看非動量莫屬。

從物理角度，速度描述的物體運動快慢(單位時間內位移大小)。我們應該希望，在只存在平動的特殊情況下，物體運動速度矢量應該滿足等於質心運動速度矢量。而對於任意現實物體，分為無窮多份，平動的情況下，質心速度若按前者定義，直接走向無窮大了，顯然完全不符合實際需求(位移和加速度同理)。

那動量就能等效替代的原因何在？

動量描述的是一個物體在其運動方向上保持運動的趨勢，其改變由力在時間上的積累效應決定。動量是由時空平移不變性決定的一種守恆量，雖然公式簡單，但是可以把其看成説整個動力學中支撐一方天地的的不周山。動量既和速度相關也和質量相關，其中質量存在部分之和 等效 整體質量，那麼就能用部分的動量之和 等效 整體動量。

從上面的分析中就能知道質心的質量和動量，下面的坐標公式就是單純物理計算了。

從而得到 \vecr=\frac\summ_i\vecr_i\summ_i

3.質心坐標公式--定積分標量形式推導

上面公式中的 \vecr 叫做位矢，是在任意維度的空間中的相對坐標系原點的向量。而矢量的數值表達和計算，則離不開坐標系上的標量值。直角坐標系下 \vecr=(x,y) ，極坐標系下 \vecr=(r,\theta) ，三維直角和球坐標系以及柱坐標系不再贅述。

這裏只推導二維平面下直角坐標系下的質心坐標公式，剩下的讀者自行推導，更有助於掌握理解。

我給出求平面區域形心的推導過程，也是我剛剛自己琢磨出來的。

質心，即重心，過質心做任意一條直線L，則L兩邊的部分，對L的力矩之和必須相等，這樣才能平衡下來（大家自己體會一下）。

注意，不要求L兩邊的質量或者面積相等，只要求L兩邊的力矩之和相等即可。

圖中畫出了z軸，是為了讓大家感受一下「重力」的影響。

由於求的是形心，我將密度取為定值1。